L'aire d'un triangle équilatéral

Parmi les figures géométriquessont considérés dans la section de la géométrie, le plus souvent vous devez résoudre certains problèmes avec un triangle. C'est une figure géométrique formée de trois lignes. Ils ne se croisent pas en un point et ne sont pas parallèles. Vous pouvez donner une définition différente: un triangle est une ligne fermée brisée, composée de trois liens, dont le début et la fin sont connectés en un point. Si les trois côtés ont la même valeur, alors c'est le triangle droit ou, comme on dit, équilatéral.

Comment déterminer la zone de équilatéraletriangle? Pour résoudre de tels problèmes, il est nécessaire de connaître certaines propriétés de cette figure géométrique. Premièrement, pour un type donné de triangle, tous les angles sont égaux. Deuxièmement, la hauteur qui descend du haut vers le bas est simultanément une médiane et une hauteur. Ceci indique que la hauteur divise le sommet du triangle par deux angles égaux, et le côté opposé en deux segments égaux. Comme un triangle équilatéral est constitué de deux triangles rectangles, le théorème de Pythagore doit être utilisé pour déterminer la valeur désirée.

Le calcul de la surface du triangle peut être effectué de différentes manières, en fonction des quantités connues.

1. Considérons un triangle équilatéral avec le côté connu b et la hauteur h. La zone du triangle dans ce cas sera égale à une seconde du côté et de la hauteur. Sous la forme d'une formule, cela ressemblera à ceci:

S = 1/2 * h * b

En termes de mots, l'aire d'un triangle équilatéral est égale à une seconde de son côté et de sa hauteur.

2. Si seule la magnitude du côté est connue, alors avant de calculer la surface, il est nécessaire de calculer sa hauteur. Pour ce faire, considérons la moitié du triangle, dans lequel la hauteur sera l'une des jambes, l'hypoténuse est le côté du triangle, et la seconde est la moitié du côté du triangle en fonction de ses propriétés. A partir du même théorème de Pythagore, nous déterminons la hauteur du triangle. Comme on le sait, le carré de l'hypoténuse correspond à la somme des carrés des jambes. Si nous considérons la moitié du triangle, alors dans ce cas, le côté est l'hypoténuse, la moitié du côté - une jambe, et la hauteur - la seconde.

(b / 2) ² + h2 = b², d'ici

h² = b²- (b / 2) ². Nous réduisons au dénominateur commun:

h² = 3b² / 4,

h = √3b² / 4,

h = b / 2√3.

Comme on le voit, la hauteur de la figure en question est égale au produit de la moitié de son côté et de la racine de trois.

Substituer dans la formule et voir: S = 1/2 * b * b / 2√3 = b² / 4√3.

C'est-à-dire que l'aire d'un triangle équilatéral est égale au produit de la quatrième partie du carré du côté et de la racine des trois.

3. Il y a aussi des problèmes où il est nécessaire de déterminer la zone d'un triangle équilatéral à une certaine hauteur. Et il s'avère que c'est simple. Nous avons déjà déduit dans le cas précédent que h² = 3 b² / 4. Ensuite, il est nécessaire de sortir le côté d'ici et de le remplacer dans la formule de la zone. Cela ressemblera à ceci:

b² = 4/3 * h², donc b = 2h / √3. En substituant dans la formule, qui est la zone, nous obtenons:

S = 1/2 * h * 2h / √3, d'où S = h² / √3.

Il y a des tâches quand il faut trouverl'aire d'un triangle équilatéral le long du rayon du cercle inscrit ou circonscrit. Pour ce calcul, il y a aussi certaines formules qui ressemblent à ceci: r = √3 * b / 6, R = √3 * b / 3.

Nous agissons selon le principe que nous connaissons. Avec un rayon connu, nous dérivons un côté de la formule et le calculons en substituant une valeur de rayon connue. La valeur obtenue est substituée dans la formule déjà connue pour calculer la surface du triangle régulier, nous effectuons des calculs arithmétiques et trouvons la valeur requise.

Comme nous le voyons, afin de résoudre similairetâche, vous devez connaître non seulement les propriétés du triangle rectangle, mais aussi le théorème de Pythagore et le rayon du cercle circonscrit et inscrit. Pour ceux qui savent que cette solution de tels problèmes ne sera pas difficile.

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