Comment dériver le dérivé de cosinus

Le dérivé de cosinus est par analogie avecdérivé du sinus, la base de la preuve est la définition de la limite d'une fonction. Vous pouvez utiliser une méthode différente, en utilisant des formules trigonométriques pour réduire les angles de cosinus et de sinus. Exprimer une fonction à travers une autre - le cosinus à travers le sinus, et différencier le sinus avec un argument complexe.

Considérons le premier exemple de la dérivation de la formule (Cos (x)) "

Nous donnons un incrément infinitésimal Δx à l'argument x de la fonction y = Cos (x). Avec la nouvelle valeur de l'argument x + Δx, nous obtenons une nouvelle valeur de la fonction Cos (x + Δx). Alors l'incrément de la fonction Δy sera Cos (x + Δx) -Cos (x).
Le rapport de l'incrément de la fonction sur Δx sera le suivant: (Cos (x + Dx) -COS (x)) / Dh. Dessiner des transformations d'identité résultant dans le numérateur de la fraction. formule de rappel de cosinus de différence, le résultat est une oeuvre -2Sin (AH / 2) multipliée par sin (x + Ah / 2). Nous trouvons la limite lim ce produit privé par lorsque Dh Dh tend vers zéro. Il est connu que le premier (appelé remarquable) limite lim (Sin (AH / 2) / (Ah / 2)) est égale à 1, et de limiter -Sin (x + Ah / 2) est égale -Sin (x) lorsque Dx, tend à zéro.
Écrivez le résultat: la dérivée (Cos (x)) "est égale à - Sin (x).

Certaines personnes aiment la deuxième façon de dériver la même formule

Du cours de la trigonométrie est connu: Cos (x) est égal à Sin (0,5 · Π-x), de même que Sin (x) est Cos (0,5 · Π-x). Ensuite, nous différencions la fonction composite - le sinus de l'angle supplémentaire (au lieu du cosinus x).
On obtient le produit Cos (0,5 · Π-x) · (0,5 · Π-x),parce que la dérivée du sinus x est égale au cosinus de x. Si nous passons à la deuxième formule Sin (x) = Cos (0,5 · Π-x) du cosinus pour sinus, nous prenons en compte que (0,5 · Π-x) "= -1, nous obtenons maintenant -Sin (x).
Ainsi, nous avons trouvé la dérivée du cosinus, y "= -Sin (x) pour la fonction y = Cos (x).

Dérivé de cosinus carré

Exemple souvent utilisé, où la dérivée du cosinus est utilisée. La fonction y = Cos²(x) est complexe. On trouve la première fonction de puissance différentielle avec un exposant 2, qui est de 2 · cos (x), il est alors multipliée par la dérivée (cos (x)) "qui est égal -Sin (x). On obtient y" = -2 · cos (x) · Sin (x). Le cas échéant formule Sin (2 · x), le sinus de l'angle double, obtenir la dernière simplifié
répondre y "= -Sin (2 · x)

Fonctions hyperboliques

Appliqué dans l'étude de nombreuses techniquesDisciplines: en mathématiques, par exemple, faciliter le calcul des intégrales, la solution des équations différentielles. Ils sont exprimés par des fonctions trigonométriques avec un argument imaginaire, de sorte que le cosinus hyperbolique ch (x) = Cos (i · x), où i est l'unité imaginaire, le sinus hyperbolique sh (x) = Sin (i · x).

Le dérivé de cosinus hyperbolique est facilement calculé.
Considérons la fonction y = (e^x+ e^-x) / 2, c'est le cosinus hyperbolique de ch (x). Nous utilisons la règle de trouver la dérivée de la somme de deux expressions, la règle pour réaliser un facteur constant (Const) derrière le signe de la dérivée. Le deuxième terme 0.5 · e^-x Est une fonction complexe (sa dérivée est -0,5 · e^-x), 0,5 · e^xEst le premier terme. (ch (x)) "= ((^x+ e^-x) / 2) "peut être écrit différemment: (0.5 · e^x+ 0,5 · e^-x) "= 0,5 · e^x-0,5 · e^-x, parce que le dérivé (e^-x) "est -1, multiplié par e^-x. Le résultat est une différence, et c'est le sinus hyperbolique de sh (x).
Conclusion: (ch (x)) "= sh (x).
Considérons l'exemple de la méthode de calcul de la dérivée de la fonction y = ch (x³+1).
Par la règle de différenciation d'un cosinus hyperbolique avec un argument complexe y "= sh (x³+1) · (x³+1) ", où (x³+1) "= 3 · x²+0.
Réponse: la dérivée de cette fonction est 3 · x²· Sh (x³+1).

Les dérivées des fonctions y = ch (x) et y = Cos (x) sont tabulaires

Lors de la résolution d'exemples il n'est pas nécessaire de les différencier chaque fois selon le schéma proposé, il suffit d'utiliser la dérivation.
Un exemple Distinguer la fonction y = Cos (x) + Cos²(-x) -Ch (5x).
Il est facile de calculer (utiliser les données de la table), y "= -Sin (x) + Sin (2 · x) -5 · Sh (5 · x).

</ p>