Algèbre de Boole. Algèbre de logique. Éléments de la logique mathématique

Dans le monde moderne, nous utilisons de plus en plusune variété de machines et de gadgets. Et pas seulement quand il faut appliquer une force littéralement inhumaine: déplacer le chargement, le soulever jusqu'à une hauteur, creuser une tranchée longue et profonde, etc. Les voitures collectent aujourd'hui des robots, la nourriture est préparée par multivarques et les calculs élémentaires sont calculés. De plus en plus souvent, nous entendons l'expression "Algèbre booléenne". Peut-être est-il temps de comprendre le rôle de l'homme dans la création de robots et la capacité des machines à résoudre non seulement des tâches mathématiques mais aussi logiques.

Logique

En grec, la logique estun système de pensée ordonné qui crée des relations entre des conditions données et nous permet de faire des inférences basées sur des hypothèses et des hypothèses. Très souvent nous nous demandons: «Est-ce logique?» La réponse répond à nos hypothèses ou critique le cours de la pensée. Mais le processus ne s'arrête pas: nous continuons à raisonner.

Parfois, le nombre de conditions (introduction) est sigrande, et la relation entre eux est si confuse et complexe que le cerveau humain ne parvient pas à « digérer » tout à la fois. Vous devrez peut-être plus d'un mois (semaine, année) pour la compréhension de ce qui se passe. Mais la vie moderne ne nous donne pas de tels intervalles de temps pour la prise de décision. Et nous avons recours à l'aide d'ordinateurs. Et il est ici qu'il ya une algèbre et la logique, avec ses lois et propriétés. Après avoir téléchargé toutes les données d'origine, nous permettons à l'ordinateur de reconnaître toutes les relations, pour éliminer les contradictions et de trouver une solution satisfaisante.

Mathématiques et logique

Le plus célèbre Gottfried Wilhelm LeibnizFormulé le concept de «logique mathématique», dont les tâches n'étaient accessibles qu'à un cercle restreint de scientifiques. Un intérêt particulier dans cette direction n'a pas causé, et jusqu'au milieu du XIXe siècle, peu de gens connaissaient la logique mathématique.

Grand intérêt pour la scienceun différend dans lequel l'Anglais George Buhl a annoncé son intention de créer une section de mathématiques qui n'avait absolument aucune application pratique. Comme on se souvient de l'histoire, à cette époque la production industrielle s'est activement développée, toutes sortes de machines auxiliaires et de machines ont été développées, c'est-à-dire que toutes les découvertes scientifiques avaient une orientation pratique.

Pour l'avenir, nous disons que l'algèbre de Boole est la partie la plus utilisée des mathématiques dans le monde moderne. Donc le différend a perdu sa Boule.

George Boule

La personnalité même de l'auteur mérite une autreattention. Même compte tenu du fait que, dans le passé les gens ont grandi devant nous, encore il convient de noter que, dans les 16 ans de John. Buhl a enseigné à l'école du village, et à 20 ans a ouvert sa propre école à Lincoln. Mathématicien parfaitement maîtrisé cinq langues étrangères, et dans son temps libre, lisait les œuvres de Newton et Lagrange. Et tout cela - le fils d'un travailleur ordinaire!

En 1839, Boule a d'abord envoyé son scientifiquetravailler dans le Cambridge Mathematical Journal. Le scientifique avait 24 ans. Le travail de Boole a tellement intéressé les membres de la Royal Scientific Society qu'en 1844, il a reçu une médaille pour sa contribution au développement de l'analyse mathématique. Plusieurs autres travaux publiés, dans lesquels des éléments de logique mathématique ont été décrits, ont permis au jeune mathématicien d'occuper le poste de professeur au Cork County College. Rappelez-vous qu'il n'était pas lui-même éduqué.

Idée

En principe, l'algèbre de Boole est très simple. Il y a des énoncés (expressions logiques) qui, du point de vue des mathématiques, ne peuvent être définis que par deux mots: «vérité» ou «mensonge». Par exemple, au printemps, les arbres fleurissent - la vérité, en été, il neige - ment. Tout le charme de cette mathématique est qu'il n'y a aucun besoin strict de n'utiliser que des nombres. Toute proposition à signification non ambiguë convient parfaitement à l'algèbre des propositions.

Ainsi, l'algèbre de la logique peut êtreest utilisé littéralement partout: dans les instructions de programmation et d'écriture, l'analyse des informations conflictuelles sur les événements et la détermination de la séquence des actions. La chose la plus importante est de comprendre que peu importe comment nous avons déterminé la vérité ou la fausseté d'une déclaration. De ces «comment» et «pourquoi» devraient être abstraits. La seule chose qui compte est l'énoncé des faits: vrai-faux.

Certes, les fonctions sont importantes pour la programmationalgèbre de logique, qui sont écrits avec les signes et les symboles appropriés. Et les apprendre signifie apprendre une nouvelle langue étrangère. Rien n'est impossible.

Concepts de base et définitions

Sans entrer dans les profondeurs, nous comprendrons la terminologie. Ainsi, l'algèbre booléenne suppose la présence de:

• déclarations
• opérations logiques;
• fonctions et lois.

Déclarations - toute expression affirmative,qui ne peut être interprété à double valeur. Ils sont écrits sous la forme de nombres (5> 3) ou formulés avec les mots habituels (l'éléphant est le plus gros mammifère). Dans ce cas, l'expression «la girafe n'a pas de cou» a aussi le droit d'exister, seule l'algèbre booléenne la définira comme un «mensonge».

Toutes les déclarations doivent être clairescaractère, mais ils peuvent être élémentaires et composites. Les derniers utilisent des connecteurs logiques. C'est-à-dire que, dans l'algèbre propositionnelle, les énoncés composés sont formés en ajoutant des éléments élémentaires à travers des opérations logiques.

Opérations de l'algèbre booléenne

Nous nous rappelons déjà que les opérations dans l'algèbre des propositions -logique. De même que l'algèbre des nombres utilise des opérations arithmétiques pour additionner, soustraire ou comparer des nombres, les éléments de la logique mathématique permettent de composer des énoncés complexes, de nier ou de calculer le résultat final.

Opérations logiques pour la formalisation et la simplicitésont écrites par les formules usuelles pour nous en arithmétique. Les propriétés de l'algèbre booléenne permettent d'écrire des équations et de calculer des inconnues. Les opérations logiques sont généralement écrites en utilisant une table de vérité. Ses colonnes définissent les éléments de calcul et l'opération qui y est effectuée, et les lignes montrent le résultat des calculs.

Actions logiques de base

Le plus commun en algèbre de Booleles opérations sont négation (NOT) et AND logique et OR. Vous pouvez donc décrire presque toutes les actions dans l'algèbre des jugements. Nous étudierons en détail chacune des trois opérations.

La négation (non) s'applique seulement à unélément (opérande). Par conséquent, l'opération de négation est appelée unaire. Pour écrire le concept de "non A", utilisez ces symboles: ¬A, A¯¯¯ ou! A. Sous forme de tableau, cela ressemble à ceci:

Pour la fonction de négation, l'instruction suivante est typique: si A est vrai, alors A est faux. Par exemple, la Lune tourne autour de la Terre - la vérité; La terre tourne autour de la lune - un mensonge.

Multiplication logique et addition

Un AND logique est appelé une opération de conjonction. Qu'est-ce que cela signifie? D'abord, qu'il peut être appliqué à deux opérandes, c'est-à-dire que I est une opération binaire. Deuxièmement, cela seulement dans le cas de la vérité des deux opérandes (et A et B) est l'expression elle-même vraie. Le proverbe "Patience et travail peretrut" suppose que seulement deux facteurs aideront une personne à faire face aux difficultés.

Les symboles sont utilisés pour l'enregistrement: A∧B, A⋅B ou A && B.

La conjonction est analogue à la multiplication en arithmétique. Parfois, ils disent une multiplication logique. Si nous multiplions les éléments de la table par des lignes, nous obtenons un résultat similaire à la pensée logique.

La disjonction est appelée opération OR logique. Il prend une valeur de vérité quand au moins une des déclarations est vraie (ou A, ou B). Il est écrit de cette façon: A∨B, A + B ou A || B. Les tables de vérité pour ces opérations sont:

DISJONCTION addition arithmétique similaire. L'opération d'addition logique n'a qu'une seule restriction: 1 + 1 = 1. Mais nous nous souvenons que dans le format numérique la logique mathématique est limitée à 0 et 1 (où 1 est vrai, 0 est faux). Par exemple, la déclaration «dans le musée, vous pouvez voir un chef-d'œuvre ou rencontrer un interlocuteur intéressant» signifie que vous pouvez voir des œuvres d'art, et vous pouvez vous familiariser avec une personne intéressante. Dans le même temps, il n'est pas exclu l'option de l'accomplissement simultané des deux événements.

Fonctions et lois

Donc, nous savons déjà quelles opérations logiquesutilise une algèbre de Boole. Les fonctions décrivent toutes les propriétés des éléments de la logique mathématique et vous permettent de simplifier les conditions composées complexes des tâches. Le plus compréhensible et simple est la propriété d'abandonner les opérations dérivées. Les dérivés sont des OR exclusifs, des implications et des équivalences. Puisque nous nous sommes seulement familiarisés avec les opérations de base, nous n'en considérerons que les propriétés.

Associativité signifie que dans les instructions comme "et A, et B, et B", l'énumération des opérandes n'a pas d'importance. La formule est la suivante:

(A∧B) ∧ B = A∧ (Б∧В) = A∧Б∧В,

(A∨B) ∨ B = A∨ (Б∨В) = A∨Б∨В.

Comme nous le voyons, cela est particulier non seulement aux conjonctions, mais aussi aux disjonctions.

Commutativité soutient que le résultat d'une conjonction ou d'une disjonction ne dépend pas de l'élément considéré au début:

A∧Б = Б∧A; A∨B = B∨A.

Distributivité vous permet d'ouvrir des parenthèses dans des expressions logiques complexes. Les règles sont similaires à la divulgation des parenthèses lors de la multiplication et l'ajout à l'algèbre:

A∧ (Б∨В) = A∧Б∨A∧В; A∨B∧B = (A∨B) ∧ (A∨B).

Propriétés de l'unité et zéro, qui peut être l'un des opérandes, sont également analogues à la multiplication algébrique par zéro ou un et addition à un:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotence nous dit que si deuxopérants égaux, le résultat de l'opération s'avère être analogue, alors il est possible de "jeter" les opérandes supplémentaires compliquant le cours du raisonnement. La conjonction et la disjonction sont toutes deux des opérations idempotentes.

БББ = Б; БББ = Б.

Absorption nous permet également de simplifier les équations. L'absorption indique que lorsqu'une opération avec le même opérande est appliquée à une expression avec un opérande, le résultat est un opérande de l'opération d'absorption.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

Séquence d'opérations

La séquence des opérations est importantesens. En fait, comme pour l'algèbre, il y a une priorité de fonctions qui utilise l'algèbre booléenne. Les formules peuvent être simplifiées seulement si l'importance des opérations est observée. Classement du plus significatif au mineur, nous obtenons la séquence suivante:

1. Déni.

2. Conjonction.

3. Disjonction excluant OU.

4. Implication, équivalence.

Comme nous le voyons, seuls le déni et les conjonctions n'ont pas les mêmes priorités. Et la priorité de la disjonction et du OU exclusif sont égales, ainsi que les priorités d'implication et d'équivalence.

Fonctions d'implication et d'équivalence

Comme nous l'avons déjà dit, en plus des opérations logiques de base, la logique mathématique et la théorie des algorithmes utilisent des dérivées. L'implication et l'équivalence les plus couramment utilisées.

L'implication, ou le suivi logique, estune déclaration dans laquelle une action est une condition, et une autre est une conséquence de son accomplissement. En d'autres termes, cette phrase avec les prétextes "si ... alors". "Tu aimes monter, aimer et porter en traîneau." C'est, pour le patinage, il est nécessaire de serrer les traîneaux à la colline. S'il n'y a aucun désir de quitter la montagne, alors vous n'avez pas besoin de transporter des traîneaux. Il s'écrit comme ceci: A → B ou A⇒B.

L'équivalence suppose que le résultatL'action se produit uniquement lorsque les deux opérandes sont vrais. Par exemple, la nuit est remplacée par le jour alors (et seulement alors), quand le soleil se lève de l'horizon. Dans le langage de la logique mathématique, cette déclaration s'écrit: A≡B, A⇔B, A == B.

D'autres lois de l'algèbre booléenne

L'algèbre de jugement se développe, et beaucouples scientifiques intéressés ont formulé de nouvelles lois. Les plus célèbres sont les postulats du mathématicien écossais O. de Morgan. Il a remarqué et défini des propriétés telles que la négation étroite, l'addition et la double négation.

Négation proche suggère qu'il n'y a pas une seule négation avant la parenthèse: pas (A ou B) = pas A ou pas B.

Lorsque l'opérande est annulé, indépendamment de sa signification, plus:

Б∧¬Б = 0; Б¬¬Б = 1.

Et, enfin, double négation se compense. Ie. Avant l'opérande, soit la négation disparaît, soit il n'en reste qu'une.

Comment résoudre les tests

La logique mathématique implique une simplificationdes équations données. Tout comme dans l'algèbre, il est d'abord nécessaire de rendre la condition aussi facile que possible (se débarrasser des introductions complexes et des opérations avec eux), puis de trouver la bonne réponse.

Que pouvons-nous faire pour simplifier les choses? Convertit toutes les opérations dérivées en opérations simples. Ensuite, ouvrez toutes les parenthèses (ou vice versa, rendez les parenthèses pour raccourcir cet élément). L'étape suivante consiste à appliquer les propriétés de l'algèbre de Boole en pratique (absorption, propriétés du zéro et des unités, etc.).

En dernière analyse, l'équation doit consister enLe nombre minimum d'inconnues, unies par des opérations simples. Il est plus facile de chercher une solution si l'on atteint un grand nombre de négations rapprochées. Alors la réponse apparaîtra comme si elle était toute seule.